求由 y = x² + 5、x 轴、y 轴以及直线 x = 5 围成的区域绕 x 轴旋转 360° 所得旋转体的体积。

Step-by-step solution

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   先把区域定死，再挑方法。 四条边界给出 $0\le x\le 5$（$y$ 轴即 $x=0$）和 $0\le y\le x^2+5$。由于在 $[0,5]$ 上处处有 $x^2+5>0$，曲线始终不与旋转轴相交，而区域的整个底边又贴在旋转轴上——所以垂直于 $x$ 轴的每个横截面都是完整的圆盘，而不是圆环。圆盘法是最直接的选择；用柱壳法则要在 $y=5$ 处把区域切开，麻烦得多。

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   写出圆盘法的积分式。 位于 $x$ 处、厚度为 $dx$ 的一薄片扫出一个半径为 $R(x)=y=x^2+5$ 的圆盘，面积是 $\pi R(x)^2$，于是

   $V=\pi\int_0^5 \left(x^2+5\right)^2 dx.$

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   积分之前先把平方展开。 这里没有链式法则的捷径可走（$\int (x^2+5)^2dx \ne \tfrac{(x^2+5)^3}{3}$，因为里层函数的导数不是常数），所以先乘开：

   $\left(x^2+5\right)^2=x^4+10x^2+25.$

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   逐项积分。 每一项都是简单的幂函数：

   $V=\pi\int_0^5\left(x^4+10x^2+25\right)dx=\pi\left[\frac{x^5}{5}+\frac{10x^3}{3}+25x\right]_0^5.$

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   代入上下限。 在 $x=5$ 处：$\tfrac{5^5}{5}=625$，$\tfrac{10\cdot 125}{3}=\tfrac{1250}{3}$，以及 $25\cdot 5=125$。下限贡献为 $0$。通分到公分母 $3$ 后相加：

   $625+125+\frac{1250}{3}=\frac{1875+375+1250}{3}=\frac{3500}{3}.$

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   写出体积。 因此

   $V=\frac{3500\pi}{3}\approx 3665.19\text{ 立方单位}.$

   对 $\pi\int_0^5(x^2+5)^2dx$ 做数值计算得到 $3665.1914$，与精确值一致。