求 x 趋于无穷时 sin(x) 的极限，或者说明它不存在。

Step-by-step solution

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   先想清楚这个极限若存在意味着什么。 说 $\lim_{x\to\infty}\sin x=L$，要求的是：对每一个容差 $\varepsilon>0$，都存在某个 $M$，使得所有 $x>M$ 都满足 $|\sin x-L|<\varepsilon$。所以只要举出一列不听话的大 $x$，这个断言就垮了。

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   注意「有界」并不够用。 对任何 $x$ 都有 $-1\le\sin x\le1$，所以它绝不会跑向无穷。但有界并不蕴含收敛——有界函数完全可以永远振荡下去，而这里发生的正是这件事。

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   给出两个极限不同的子列。 取

   $x_{n}=\frac{\pi}{2}+2\pi n\ \Rightarrow\ \sin x_{n}=1,\qquad y_{n}=\frac{3\pi}{2}+2\pi n\ \Rightarrow\ \sin y_{n}=-1.$

   当 $n\to\infty$ 时 $x_{n}\to\infty$、$y_{n}\to\infty$，可函数值却永远分别停在 $1$ 和 $-1$ 上。

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   断定极限不存在。 如果极限是某个数 $L$，那么每一列趋于无穷的数都必须让函数值趋于 $L$。这里一列给出 $1$，另一列给出 $-1$，而 $1\ne-1$，所以这样的 $L$ 根本不存在：

   $\lim_{x\to\infty}\sin x\ \text{不存在。}$

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   把它和「极限等于无穷」区分开。 极限失效有两种不同的方式：无界地增大（比如 $\lim_{x\to\infty}x^{2}=\infty$），或者持续振荡（就像这里）。$\sin x$ 属于第二种。另外注意，加上衰减因子之后就收敛了——由夹逼定理 $\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0$，因为 $\left|\frac{\sin x}{x}\right|\le\frac1x$——可见真正导致失效的是自变量的无界振荡，而不是正弦本身。