计算 2x − 4yz 在区域 E 上的三重积分，其中 2 ≤ x ≤ 3，0 ≤ y ≤ 2x−4，0 ≤ z ≤ 5x+5y−3。

Step-by-step solution

1. 1

   从区域的描述里读出积分次序。 每个上限都只依赖排在它左边的变量，所以这个区域天然就是按 $dz\,dy\,dx$ 排好的：

   $\int_{2}^{3}\int_{0}^{2x-4}\int_{0}^{5x+5y-3}(2x-4yz)\,dz\,dy\,dx$

2. 2

   先对 $z$ 积分。 把 $x$ 和 $y$ 当作常数。一个原函数是 $2xz - 2yz^2$，从 $0$ 代到 $5x+5y-3$ 得

   $2x(5x+5y-3)-2y(5x+5y-3)^2$

3. 3

   把被积式展开。 由 $(5x+5y-3)^2 = 25x^2+25y^2+9+50xy-30x-30y$，整个式子化为

   $10x^2+70xy-6x-50x^2y-100xy^2+60y^2-50y^3-18y$

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   对 $y$ 从 $0$ 积到 $a = 2x-4$。 一个原函数是

   $(10x^2-6x)y+35xy^2-25x^2y^2-\tfrac{100x}{3}y^3+20y^3-\tfrac{25}{2}y^4-9y^2$

   代入 $y=a$ 后只剩下一个关于 $x$ 的多项式（$y=0$ 那一端贡献为零）。

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   收尾之前先记下一个好用的检验。 因为 $a = 2x-4$ 在 $x=2$ 处为零，整个被积式在下限处也应当为零——要是你的式子不为零，那说明上面某一步的代数出错了。

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   把得到的 $x$ 的多项式从 $2$ 积到 $3$。 每一项都是 $x$ 的幂，所以最后这步纯属例行公事。一路用精确的有理数运算算下来，得到

   $\iiint_E (2x-4yz)\,dV = -268$

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   要点小结。 这道题真正的难处只在于「记账」：按不等式规定的次序积分，一次只代一个上限，进入下一个变量之前先把式子彻底展开。全程保持精确分数——三重积分中途一四舍五入，符号错、量级错就都跟着来了。