计算 x·y·e^(x²y) 在区域 D = {−2 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ 5π/2} 上的二重积分。

Step-by-step solution

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   先选好内层变量，让换元成为可能。 指数 $x^2y$ 对 $x$ 求导得 $2xy$，而被积函数里正好带着因子 $xy$。所以先对 $x$ 积分；若先对 $y$ 积分，就得改用分部积分了。

2. 2

   在内层积分里令 u = x²y。 于是 $du=2xy\,dx$，即 $xy\,dx=\tfrac12\,du$。积分限的对应是 $x=-2\Rightarrow u=4y$、$x=0\Rightarrow u=0$（注意 $x$ 是负的，但 $x^2$ 不是）。

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   算出内层积分。 $\int_{-2}^{0}xy\,e^{x^2y}\,dx=\frac12\int_{4y}^{0}e^u\,du=\frac12\left(e^0-e^{4y}\right)=\frac{1-e^{4y}}{2}$。正是 $u$ 的上下限反了过来，才使得 $y>0$ 时结果为负。

4. 4

   再对 y 积分。 $\int_0^{5\pi/2}\frac{1-e^{4y}}{2}\,dy=\frac12\left[y-\frac{e^{4y}}{4}\right]_0^{5\pi/2}=\frac12\left(\frac{5\pi}{2}-\frac{e^{10\pi}}{4}+\frac14\right)$。

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   把这个二分之一乘进去。 精确值是 $\frac{5\pi}{4}+\frac18-\frac{e^{10\pi}}{8}$。指数那一项完全占了主导，因为 $e^{10\pi}\approx 4.4031\times 10^{13}$。

6. 6

   数值检验。 这个闭式算出来是 $-5.5039382325749\times 10^{12}$，而对 $\int_0^{5\pi/2}\frac{1-e^{4y}}{2}dy$ 做自适应数值积分同样得到 $-5.5039382325749\times 10^{12}$，13 位有效数字一致。