求当 x 趋于无穷时 ((x + 3)/(x − 1)) 的 (x + 3) 次幂的极限。

Step-by-step solution

1. 1

   先判断这是什么型。 底数趋于 $1$（分子分母都像 $x$ 那样增大），而指数趋于 $\infty$。这就是 $1^{\infty}$ 型不定式——不能把两个极限分开各自代入。

2. 2

   把底数改写成「1 加上一小块」。 把分母分出来：

   $\frac{x+3}{x-1}=\frac{(x-1)+4}{x-1}=1+\frac{4}{x-1}.$

   只有写成这个形式，才能和标准极限 $\left(1+\tfrac1u\right)^{u}\to e$ 对上号。

3. 3

   令 u = x − 1，把这个模式凑得严丝合缝。 当 $x\to\infty$ 时 $u\to\infty$，而指数 $x+3=u+4$：

   $\left(1+\frac{4}{u}\right)^{u+4}=\left[\left(1+\frac{4}{u}\right)^{u}\right]\cdot\left(1+\frac{4}{u}\right)^{4}.$

4. 4

   两个极限分别来取。 方括号里正是 $a=4$ 的标准极限：

   $\left(1+\frac{4}{u}\right)^{u}\longrightarrow e^{4},$

   而后面那个因子 $\left(1+\tfrac4u\right)^{4}\to 1^{4}=1$。所以原来指数上多出来的 $+3$ 对答案毫无影响——起作用的只有领头的那个 $x$。

5. 5

   合并。

   $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+3}{x-1}\right)^{x+3}=e^{4}\cdot 1=e^{4}\approx 54.598.$

6. 6

   数值确认。 在 $x=10^{6}$ 处这个式子算出来是 $54.59859$，而 $e^{4}=54.59815$——四位有效数字一致，差距按 $1/x$ 的量级缩小，与预期相符。