求 ln(x² + y²) 对 x 的偏导数。

Step-by-step solution

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   把 $y$ 冻结成常数。 这正是对 $x$ 求偏导数的全部含义：$y$ 每次出现都当作一个固定的数，所以 $y^2$ 求导得 $0$。

2. 2

   对对数用链式法则。 令 $u=x^2+y^2$，而 $\dfrac{d}{du}\ln u=\dfrac1u$：

   $\frac{\partial}{\partial x}\ln u=\frac{1}{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}$

   忘掉内层导数、只写一个 $\tfrac{1}{x^2+y^2}$，是这里的典型错误。

3. 3

   对内层关于 $x$ 求导。

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2+y^2\right)=2x+0=2x$

4. 4

   把两部分合起来。

   $\frac{\partial}{\partial x}\ln\left(x^2+y^2\right)=\frac{2x}{x^2+y^2}$

   由表达式的对称性，另一个偏导数是 $\dfrac{\partial}{\partial y}=\dfrac{2y}{x^2+y^2}$——只要把 $x$ 和 $y$ 的角色互换即可。

5. 5

   检验结果是否合理。 当 $y=0$ 时函数化为 $\ln x^2=2\ln|x|$，其导数是 $\tfrac{2}{x}$；而公式给出 $\tfrac{2x}{x^2}=\tfrac2x\;\checkmark$。在 $x=0$ 的整条 $y$ 轴上这个偏导数也为零，这与「对任意固定的 $y\ne 0$，$\ln\left(x^2+y^2\right)$ 关于 $x$ 在那里取到最小值」这一事实相符。函数在原点无定义，导数同样无定义。