计算 (x³ + 6) 关于 x 的积分。

Step-by-step solution

1. 1

   用线性性质把两项拆开。

   $\int\left(x^3+6\right)dx=\int x^3\,dx+\int 6\,dx$

2. 2

   写出幂法则，并取 $n=3$ 来用。

   $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq-1)$

   $\int x^3\,dx=\frac{x^{4}}{4}$

   指数是加一——常见的失手是把它减一，那其实是求导的套路。

3. 3

   给常数项积分。

   $\int 6\,dx=6x$

4. 4

   写出一般的原函数。 一个常数就覆盖了整族原函数：

   $\int\left(x^3+6\right)dx=\frac{x^4}{4}+6x+C$

5. 5

   求导验证。 $\tfrac{d}{dx}\left(\tfrac{x^4}{4}+6x\right)=x^3+6$ $\checkmark$。数值上取 $x=1.1$，差商给出 $7.331$，而 $1.1^3+6=7.331$ $\checkmark$。