求 x² 乘 e^x 关于 x 的不定积分。

Step-by-step solution

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   认出这是乘积型，并把 $u$ 选成会变小的那个。 被积函数是多项式乘指数函数，这是分部积分的经典信号：

   $\int u\,dv=uv-\int v\,du$

   取 $u=x^2$、$dv=e^x\,dx$。这样选的理由是：对 $x^2$ 求导会降低它的次数，而 $e^x$ 积分后不变——所以每用一次公式，我们都严格地更接近一个能直接算的积分。反过来选（$u=e^x$）会把幂次抬到 $x^3$，只会越弄越糟。

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   第一次使用公式。 由 $u=x^2$、$dv=e^x\,dx$ 得 $du=2x\,dx$、$v=e^x$，于是

   $\int x^2e^x\,dx=x^2e^x-\int e^x\cdot 2x\,dx=x^2e^x-2\int xe^x\,dx$

   剩下的积分形状相同，只是把 $x^2$ 换成了 $x$：次数正如预期地降了 $1$。

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   第二次使用公式，处理 $\int xe^x\,dx$。 取 $u=x$、$dv=e^x\,dx$，则 $du=dx$、$v=e^x$：

   $\int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x$

   一般来说 $\int x^n e^x\,dx$ 需要做 $n$ 轮，因为每轮次数降 $1$。这里 $n=2$，所以正好两轮。

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   回代并化简。 把第二个结果代进第一个：

   $\int x^2e^x\,dx=x^2e^x-2\big(xe^x-e^x\big)=x^2e^x-2xe^x+2e^x$

   提出公因子 $e^x$ 就得到整洁的形式

   $\int x^2e^x\,dx=e^x\left(x^2-2x+2\right)+C$

   别忘了常数 $C$：它只在最后加一次，而不是每做一轮加一次。

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   对答案求导来验证。 这是不定积分永远可用的一种检验。由乘积法则，

   $\frac{d}{dx}\Big[e^x\big(x^2-2x+2\big)\Big]=e^x\big(x^2-2x+2\big)+e^x\big(2x-2\big)=e^x\big(x^2-2x+2+2x-2\big)=x^2e^x$

   两个一次项恰好抵消，正好还原成原来的被积函数，所以这个原函数是对的。

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   记下可以复用的规律。 这种正负交替的结构可以推广：

   $\int x^ne^x\,dx=e^x\left(x^n-nx^{n-1}+n(n-1)x^{n-2}-\cdots\pm n!\right)+C$

   取 $n=2$ 就是 $e^x(x^2-2x+2)+C$，与我们推出来的一致。认得这个规律，就能直接写出 $\int x^3e^x\,dx=e^x(x^3-3x^2+6x-6)+C$，不必再重复做三遍。