求当 x 趋于无穷时，y 从 1 到 x 的 y 除以 2 的 y 次方之和的极限。

Step-by-step solution

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   先认清这是无穷级数，而不是函数的极限。 部分和递增，而通项 $y/2^y$ 按几何速度衰减，所以这个极限就是收敛级数

   $S=\sum_{y=1}^{\infty}\frac{y}{2^y}$

   的和。收敛性由比值判别法保证：相邻两项之比趋于 $\tfrac12<1$。

2. 2

   把和写出来，再取它的一半。

   $S=\frac12+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\cdots$

   $\frac12 S=\frac14+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+\frac{4}{32}+\cdots$

   取一半相当于把每一项都右移一位，正是这一点让下一步得以成立。

3. 3

   两行相减。 按分母对齐，每个系数恰好减少 $1$：

   $S-\frac12 S=\frac12+\frac{2-1}{4}+\frac{3-2}{8}+\frac{4-3}{16}+\cdots=\frac12+\frac14+\frac18+\cdots$

   原本麻烦的差比数列，就变成了一个普通的等比级数。

4. 4

   求出等比级数的和并解出 S。 首项 $\tfrac12$、公比 $\tfrac12$：

   $\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=\frac{1/2}{1-1/2}=1$

   于是 $\tfrac12 S=1$，因此 $S=2$。

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   用闭式公式和数值两头核对。 标准恒等式 $\sum_{y\ge1}yr^y=\dfrac{r}{(1-r)^2}$ 在 $r=\tfrac12$ 处给出 $\dfrac{1/2}{1/4}=2$ ✓。直接把前 $199$ 项加起来，得到 $2.0000000000$，十位小数完全吻合 ✓。