判断 f(x) = (-4x³ + 7x + 9)/(8x⁶ - 9x⁴ - 2x) 当 x 趋于负无穷和正无穷时的变化趋势。

Step-by-step solution

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   动手之前先比次数。 分子是 $3$ 次，分母是 $6$ 次。只要分母的次数更高，不论高出多少，商都会被挤向 $0$——低次项改变不了这个结论。

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   只保留最高次项。 当 $|x|$ 很大时，$f(x)\approx\frac{-4x^3}{8x^6}=\frac{-1}{2x^3}.$ 严格一点的做法是分子分母同除以 $x^6$；除了分母里的常数 $8$，其余各项都趋于 $0$。

3. 3

   考察 $x\to+\infty$。 此时 $x^3\to+\infty$，所以 $\dfrac{-1}{2x^3}\to 0$，而且是从负的一侧趋近：$f(x)\to 0^{-}$。

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   考察 $x\to-\infty$。 此时 $x^3\to-\infty$，所以 $\dfrac{-1}{2x^3}\to 0$，而且是从正的一侧趋近：$f(x)\to 0^{+}$。

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   给出结论。 两个极限都是 $0$，所以 $y=0$ 是两侧共同的水平渐近线。数值上 $f(10^{6})\approx-5\times10^{-19}$，$f(-10^{6})\approx+5\times10^{-19}$，与符号分析完全一致。