求 x 趋于 0 时 (tan x / x) 的 1/x 次方的极限。

Step-by-step solution

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   先认出这是哪种未定式。 当 $x\to0$ 时 $\tan x\sim x$，所以底数 $\tfrac{\tan x}{x}\to1$，而指数 $\tfrac1x\to\pm\infty$。这就是 $1^{\infty}$ 型 - 它确实是未定的，因为一个略大于 $1$ 的底数被抬到极大的幂上，结果可以跑到任何地方去。

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   取对数，把指数搬下来。 把极限记作 $L$，

   $\ln L=\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\ln\!\left(\frac{\tan x}{x}\right)$

   现在整个问题变成：底数趋近 $1$ 的速度，和指数发散的速度相比，谁更快？

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   把底数展开到足够的阶。 由 $\tan x=x+\tfrac{x^3}{3}+O(x^5)$，

   $\frac{\tan x}{x}=1+\frac{x^2}{3}+O(x^4)$

   关键的数字是那个 $x^2$：底数是以二次的速度趋近 $1$ 的，比指数那一个 $x$ 次方的发散更快。

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   用 $\ln(1+u)\approx u$。 取 $u=\tfrac{x^2}{3}+O(x^4)$，

   $\ln\!\left(\frac{\tan x}{x}\right)=\frac{x^2}{3}+O(x^4)\;\Longrightarrow\;\frac{1}{x}\ln\!\left(\frac{\tan x}{x}\right)=\frac{x}{3}+O(x^3)$

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   取极限，再把对数还原回去。 因为 $\tfrac{x}{3}\to0$（从两侧都是），所以 $\ln L=0$，于是

   $L=e^{0}=1$

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   从两侧做数值确认。 $x=0.001$ 时表达式等于 $1.000333$；$x=-0.001$ 时等于 $0.999667$。$x\to0$ 时两者都被挤向 $1$，双侧结果一致，确认极限存在 ✓。