求 1/n² 从 n = 1 到无穷的和。

Step-by-step solution

1. 1

   先确认收敛，再去找值。 这是 $p=2$ 的 $p$ 级数 $\sum n^{-p}$。用积分判别法与 $\int_{1}^{\infty}x^{-2}dx=1$ 比较，后者是有限值，所以级数收敛——不像 $p=1$ 的调和级数那样发散。只有先把这件事定下来，问「和是多少」才有意义。

2. 2

   先粗略估个范围，心里有个数。 当 $n\ge 2$ 时 $\dfrac{1}{n^{2}}<\dfrac{1}{n(n-1)}$，而后者裂项相消后等于 $1$，所以第一项之后的尾巴不超过 $1$：

   $1<\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}<2$

   于是答案一定落在 1 与 2 之间——这是防止写出错误闭式的一道保险。

3. 3

   回忆欧拉的思路：把 $\dfrac{\sin x}{x}$ 按零点分解。 函数 $\dfrac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处等于 $1$，在 $x=\pm k\pi$ 处取零，这提示我们写出无穷乘积

   $\frac{\sin x}{x}=\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^{2}}{k^{2}\pi^{2}}\right)$

   也就是把一个超越函数当成多项式、照着根写成乘积——正是这一跳让这个论证名垂青史。

4. 4

   比较 $x^{2}$ 的系数。 把乘积展开，$x^{2}$ 的系数是 $-\displaystyle\sum_{k\ge 1}\frac{1}{k^{2}\pi^{2}}$。而由泰勒展开 $\dfrac{\sin x}{x}=1-\dfrac{x^{2}}{6}+\cdots$，同一个系数又是 $-\dfrac16$。令两者相等：

   $\frac{1}{\pi^{2}}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac16$

5. 5

   解出这个和。

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}\approx 1.6449340668$

   它稳稳地落在第 2 步给出的范围里。直接把前两百万项加起来得到 $1.6449335668$，少掉的 $5\times 10^{-7}$ 正好就是那条尾巴 $\approx 1/N$ ✓。用现代记号，这个值就是 $\zeta(2)$。