函数 y = f(x) 满足微分方程 dy/dx = 3x² (y − 4)。若 f(0) = 6，求它的特解。

Step-by-step solution

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   先看出方程可分离变量，并检查那个特殊解。 右端是 $x$ 的函数乘 $y$ 的函数，所以变量可以分开。不过在做除法之前要注意：$y=4$ 会让右端为零，它本身就是一个常数解；而初值 $f(0)=6\neq 4$ 告诉我们要找的解不是它，因此在初始点附近除以 $y-4$ 是合法的。

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   分离变量。 把所有 $y$ 移到左边、所有 $x$ 移到右边：

   $\frac{1}{y-4}\,dy=3x^{2}\,dx$

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   两边同时积分。 左边是对数，右边是幂函数：

   $\int\frac{1}{y-4}\,dy=\int 3x^{2}\,dx\ \Longrightarrow\ \ln|y-4|=x^{3}+C$

   只需要写一个常数，因为两边的常数可以合并成一个。

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   取指数解出 $y$。 两边同时作用 $e^{(\cdot)}$：

   $|y-4|=e^{x^{3}+C}=e^{C}e^{x^{3}}$

   由于 $e^{C}$ 是任意正常数，而 $y-4$ 的正负号可以通过允许常数取负值来吸收，于是写成

   $y-4=Ke^{x^{3}}\ \Longrightarrow\ y=4+Ke^{x^{3}}$

   其中 $K$ 为任意实数（$K=0$ 就回到那个特殊解 $y=4$）。

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   代入初始条件。 把 $x=0$、$y=6$ 代入，并用 $e^{0}=1$：

   $6=4+K\cdot 1\ \Longrightarrow\ K=2$

   所以特解是

   $y=4+2e^{x^{3}}$

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   验证解同时满足两个要求。 求导得 $\dfrac{dy}{dx}=2\cdot 3x^{2}e^{x^{3}}=6x^{2}e^{x^{3}}$，而 $3x^{2}(y-4)=3x^{2}\cdot 2e^{x^{3}}=6x^{2}e^{x^{3}}$ —— 完全一致。在 $x=0.5$、$1.1$ 和 $-0.8$ 处用中心差分检验，结果与 $3x^{2}(y-4)$ 在小数点后五位上吻合，且 $y(0)=4+2=6$ 正好符合要求。