求无穷级数 ln(n)/n^2 从 n = 1 到无穷的和。

Step-by-step solution

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   先把收敛性立住。 与 $\sum n^{-3/2}$ 作比较：$n$ 充分大时 $\ln n<n^{1/2}$，于是 $\dfrac{\ln n}{n^2}<\dfrac{1}{n^{3/2}}$。而 $\sum n^{-3/2}$ 收敛（$p=\tfrac32>1$），所以题给级数绝对收敛。$n=1$ 那一项是 $\ln 1=0$，因此求和实际上是从 $n=2$ 才开始的。

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   把 zeta 函数在求和号下求导。 当 $\Re(s)>1$ 时，

   $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}$

   而 $\dfrac{d}{ds}n^{-s}=\dfrac{d}{ds}e^{-s\ln n}=-\ln n\cdot n^{-s}$。这里逐项求导是合法的，因为求导后的级数在 $\Re(s)\ge1+\delta$ 上一致收敛。

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   读出这个恒等式。 于是

   $\zeta'(s)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^s}\quad\Longrightarrow\quad\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^s}=-\zeta'(s)$

   令 $s=2$ 就得到封闭形式 $-\zeta'(2)$。它没有初等表达式：$\zeta'(2)$ 与格莱舍-金克林常数有关，而不是单靠 $\pi$ 和 $\ln 2$ 就能写出来的。

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   求一个真正靠得住的数值。 直接硬加收敛得太慢（$N$ 之后的尾巴大约是 $(\ln N+1)/N$）。把前 $200{,}000$ 项加起来，再用欧拉-麦克劳林估计式 $\dfrac{\ln N+1}{N}-\dfrac{f(N)}{2}-\dfrac{f'(N)}{12}$ 修正尾部，得到

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^2}=0.9375482543$

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   再独立核一下数量级。 已知值 $\zeta'(2)=-0.93754825431584\ldots$ 与算出来的和前十位数字完全吻合 ✓。粗略的估界也说得通：光是前四个非零项就有 $\tfrac{\ln2}{4}+\tfrac{\ln3}{9}+\tfrac{\ln4}{16}+\tfrac{\ln5}{25}=0.4464$，剩下的尾巴全是正的，会把总和一路推到 $0.9375$ 附近 ✓。