求平面 z = −2x + 4y + 1 位于区域 0 ≤ x ≤ 3、0 ≤ y ≤ 5 上方那部分的曲面面积，给出精确值。

Step-by-step solution

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   回忆曲面面积公式。 对区域 $R$ 上的图像 $z=f(x,y)$，$S=\iint_R\sqrt{1+f_x^{\,2}+f_y^{\,2}}\,dA.$

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   对这个平面求偏导。 取 $f(x,y)=-2x+4y+1$，处处有 $f_x=-2$、$f_y=4$。因为 $f$ 是线性的，这两个偏导数都是常数——正是这一点让积分变得几乎不用算。

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   算出被积函数的值。 $\sqrt{1+(-2)^2+4^2}=\sqrt{1+4+16}=\sqrt{21}.$ 注意 $f_x$ 一经平方，它的正负号就无关紧要了。

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   把常数提到积分号外。 $S=\iint_R\sqrt{21}\,dA=\sqrt{21}\iint_R dA=\sqrt{21}\cdot\operatorname{area}(R).$

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   算出底面面积，收尾。 这个矩形的面积是 $3\times 5=15$，所以 $S=15\sqrt{21}\approx 68.7386.$ 从几何上看，$\sqrt{21}$ 就是这个倾斜平面把水平面积放大的那个固定倍数。