求 x^n / n^2 从 n = 1 到无穷的级数和。

Step-by-step solution

1. 1

   先求收敛半径。 用比值判别法：

   $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\left|x\right|\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}\to\left|x\right|$

   所以级数在 $\left|x\right|<1$ 时收敛。两个端点处也收敛：$x=1$ 时它是 $p=2$ 的 $p$-级数，$x=-1$ 时绝对收敛。因此这个和的定义域是闭区间 $\left|x\right|\le 1$。

2. 2

   从几何级数出发，积分两次把它造出来。 从 $\sum_{n\ge 1}x^{n-1}=\dfrac{1}{1-x}$ 出发，积分一次得到

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}=-\ln(1-x)$

   再除以 $x$ 并作第二次积分，分母上就多出一个 $n$：

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n^{2}}=-\int_{0}^{x}\frac{\ln(1-t)}{t}\,dt$

3. 3

   要认识到这个积分没有初等封闭形式。 与 $\sum x^{n}/n$ 不同，第二次求原函数得到的结果无法用初等函数表示。于是数学家干脆给它起了个名字——二重对数函数：

   $\operatorname{Li}_{2}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n^{2}}=-\int_{0}^{x}\frac{\ln(1-t)}{t}\,dt$

   给它命名就是最诚实的答案，正如误差函数之于 $\int e^{-x^{2}}dx$ 一样。

4. 4

   读出两个特殊值。 在 $x=1$ 处，级数就是巴塞尔级数：

   $\operatorname{Li}_{2}(1)=\frac{\pi^{2}}{6}$

   而在 $x=-1$ 处，交错级数把它减半并变号：

   $\operatorname{Li}_{2}(-1)=-\frac{\pi^{2}}{12}$

5. 5

   再拿第三个已知值作数值检验。 在 $x=\tfrac12$ 处有一个经典恒等式 $\operatorname{Li}_{2}\!\left(\tfrac12\right)=\dfrac{\pi^{2}}{12}-\dfrac{\ln^{2}2}{2}$。把级数求前 200 项得到 $0.58224052646$，而封闭形式给出 $0.58224052647$ ✓——级数与这套命名约定都得到了印证。