计算 x 趋于 −2 时 (4 − x²)/(2x² + x³) 的极限。

Step-by-step solution

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   先试直接代入。 在 $x=-2$ 处分子是 $4-4=0$，分母是 $8-8=0$，所以是 $\frac{0}{0}$ 型，说明上下必定藏着公因式。

2. 2

   分解分子。 用平方差公式，$4-x^2=(2-x)(2+x)$。注意书写顺序：写成 $-(x-2)(x+2)$ 虽然等价，但更容易把符号弄错。

3. 3

   分解分母。 提出公共的 $x^2$：$2x^2+x^3=x^2(2+x)$。

4. 4

   约掉公因式。 当 $x\neq -2$ 时，这个商等于 $\frac{(2-x)(2+x)}{x^2(2+x)}=\frac{2-x}{x^2}$，而 $x=-2$ 这一点本身对极限并无影响。

5. 5

   把约简后的式子代入。 $\frac{2-(-2)}{(-2)^2}=\frac{4}{4}=1$。

6. 6

   解释这个结果的含义。 原函数在 $x=-2$ 处有一个可去间断点：只要把该点的函数值补成 $1$，它在那里就连续了。