求 xy·sin(xy²) 在区域 0 ≤ x ≤ π、0 ≤ y ≤ π 上的二重积分。

Step-by-step solution

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   先看出藏在被积函数里的那个换元。 正弦的宗量是 $xy^2$，而外面的因子是 $xy$。由于 $\frac{d}{dy}(xy^2) = 2xy$，外面这个因子恰好是内层宗量导数的一半——这正是可以对 $y$ 干净换元的标志。先对 $x$ 积分远没有这么顺，所以保持题目给定的顺序 $dy\,dx$。

2. 2

   固定住 x，在内层积分里换元。 令

   $u = xy^2, \qquad du = 2xy\,dy \ \Longrightarrow \ xy\,dy = \tfrac12\,du$

   上下限要跟着变量一起换：$y = 0$ 对应 $u = 0$，$y = \pi$ 对应 $u = x\pi^2$。于是

   $\int_0^{\pi} xy\sin(xy^2)\,dy = \frac{1}{2}\int_0^{x\pi^2} \sin u\,du$

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   算出内层积分。

   $\frac{1}{2}\bigl[-\cos u\bigr]_0^{x\pi^2} = \frac{1}{2}\left(1 - \cos(x\pi^2)\right)$

   原本挂在外面的那个 $x$ 已经被换元吸收掉了，所以结果里不会多出一个孤零零的 $x$。

4. 4

   再把结果对 x 积分。

   $I = \frac{1}{2}\int_0^{\pi}\left(1 - \cos(x\pi^2)\right) dx = \frac{1}{2}\left(\pi - \left[\frac{\sin(x\pi^2)}{\pi^2}\right]_0^{\pi}\right)$

   那个 $\frac{1}{\pi^2}$ 来自链式法则：这里的 $\pi^2$ 只是余弦内部乘在 $x$ 上的一个常数。

5. 5

   拼起来算出数值。

   $I = \frac{\pi}{2} - \frac{\sin(\pi^3)}{2\pi^2}$

   由 $\pi^3 \approx 31.00628$、$\sin(\pi^3) \approx -0.39829$ 得：

   $I \approx 1.570796 + 0.020178 = 1.590974$

   直接做二维数值积分得到 $1.59097384$，两者吻合。