求 x sec y = 4y − y tan 2x 所确定的隐函数的 dy/dx。

Step-by-step solution

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   全程把 $y$ 看作 $x$ 的函数。 这个方程解不出 $y$ 的显式表达式，所以我们两边对 $x$ 求导，并让每一个 $y$ 都按链式法则带上一个隐藏的 $\dfrac{dy}{dx}$。等式两边都出现「含 $x$ 的因子乘含 $y$ 的因子」，因此乘积法则要用两次。

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   先对左边求导。 取 $u=x$、$v=\sec y$，并用 $\dfrac{d}{dx}\sec y=\sec y\tan y\,\dfrac{dy}{dx}$： $\frac{d}{dx}\left(x\sec y\right)=\sec y + x\sec y\tan y\,\frac{dy}{dx}.$

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   再对右边求导，注意保留内层因子 $2$。 $4y$ 一项给出 $4\dfrac{dy}{dx}$。对 $y\tan 2x$ 用乘积法则加链式法则（注意 $\dfrac{d}{dx}\tan 2x = 2\sec^{2}2x$，而不是 $\sec^{2}2x$）得 $\frac{d}{dx}\left(y\tan 2x\right)=\frac{dy}{dx}\tan 2x + 2y\sec^{2}2x,$ 于是整个右边求导后是 $4\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}\tan 2x-2y\sec^{2}2x.$ 把那个因子 $2$ 丢掉，是这道题最常见的错误。

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   把含 $\dfrac{dy}{dx}$ 的项归到一边。 令两边的导数相等， $\sec y + x\sec y\tan y\,\frac{dy}{dx}=4\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}\tan 2x-2y\sec^{2}2x,$ 再把所有含 $\dfrac{dy}{dx}$ 的项移到右边、其余移到左边： $\sec y + 2y\sec^{2}2x=\frac{dy}{dx}\left(4-\tan 2x-x\sec y\tan y\right).$

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   相除，把导数解出来。 $\frac{dy}{dx}=\frac{\sec y + 2y\sec^{2}2x}{4-\tan 2x-x\sec y\tan y}.$ 结果同时含 $x$ 和 $y$ 是完全正常的，隐式曲线本就如此：要算出具体数值，得给一个真正满足原方程的点。

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   用隐函数定理核对。 记 $F(x,y)=x\sec y-4y+y\tan 2x$，则 $F_{x}=\sec y+2y\sec^{2}2x$，$F_{y}=x\sec y\tan y-4+\tan 2x$，而 $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F_{x}}{F_{y}}$ 给出的正是同一个表达式。数值检验也吻合：在 $x=0.3$ 处曲线经过 $y=0.09084883$，对隐式解出的 $y(x)$ 作中心差商得 $0.38647161$，而公式给出 $0.38647161$。