求当 x 趋于无穷时 (2x − 3)/(x² + 3x) 的极限。

Step-by-step solution

1. 1

   动手算之前先看次数。 分子的次数是 $1$，分母的次数是 $2$。对有理函数来说，分子次数较低时，无穷远处的极限就是 $0$；次数相等时极限是首项系数之比；分子次数更高时则趋于 $\pm\infty$。本题属于第一种情形，下面的推演只是把它做实。

2. 2

   分子分母同除以分母的最高次幂 $x^{2}$。

   $\frac{2x-3}{x^{2}+3x}=\frac{\frac{2x}{x^{2}}-\frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{3x}{x^{2}}}=\frac{\frac{2}{x}-\frac{3}{x^{2}}}{1+\frac{3}{x}}$

   除以 $x^2$（而不是除以 $x$），才能保证分母稳定到一个非零的常数。

3. 3

   让各个负幂项趋于零。 当 $x\to\infty$ 时，

   $\frac{2}{x}\to 0,\qquad\frac{3}{x^{2}}\to 0,\qquad\frac{3}{x}\to 0$

4. 4

   把结果拼起来。

   $\frac{0-0}{1+0}=\frac{0}{1}=0$

   分母趋于 $1$ 而不是 $0$，这才使得这一步是一次合法的直接代入，而不是又一个未定式。

5. 5

   从图像上解读结果。 这个极限说明曲线 $y=\dfrac{2x-3}{x^{2}+3x}$ 有水平渐近线 $y=0$。数值上，$x=1000$ 时函数值是 $0.00199$，$x=10^{6}$ 时是 $0.0000020$，衰减速度大约像 $2/x$ ✓。