求当 n 趋于无穷时 n² 乘以 (1 − cos(2/n)) 的极限。

Step-by-step solution

1. 1

   先给这个未定式定性。 当 $n\to\infty$ 时 $n^2\to\infty$，而 $1-\cos\frac{2}{n}\to 0$，所以这个乘积是 $\infty\cdot 0$ 型，必须先改写才能读出极限。

2. 2

   换一个趋于零的变量。 令 $u=\frac{2}{n}$，则 $n=\frac{2}{u}$ 且 $u\to 0^+$。于是 $n^2\left(1-\cos\frac{2}{n}\right)=\frac{4}{u^2}\left(1-\cos u\right)=4\cdot\frac{1-\cos u}{u^2}$。

3. 3

   想起与之配套的那个标准极限。 $\lim_{u\to 0}\frac{1-\cos u}{u^2}=\frac{1}{2}$。它由半角恒等式 $1-\cos u=2\sin^2\frac{u}{2}$ 结合 $\lim\frac{\sin t}{t}=1$ 推出。

4. 4

   把两部分合起来。 极限就是 $4\cdot\frac{1}{2}=2$。

5. 5

   用级数交叉验证。 由 $\cos u=1-\frac{u^2}{2}+O(u^4)$ 可得 $1-\cos\frac{2}{n}\approx\frac{2}{n^2}$，再乘上 $n^2$，剩下的正是 $2$。

6. 6

   数值检验。 取 $n=10^{5}$，原式的值是 $1.99999999993$，确认了这个极限。