用拉普拉斯变换求解初值问题 y'' − y = 4·delta(t − 2) + t²，其中 y(0) = 0，y'(0) = 2，delta 表示狄拉克 δ 函数。

Step-by-step solution

1. 1

   因为出现了冲激，所以选用拉普拉斯变换。 强迫项里含有 $\delta(t-2)$，它不是能用普通方法积分的函数；待定系数法和常数变易法都会失效。拉普拉斯变换把这个冲激变成普通的指数 $e^{-2s}$，于是整个问题化成了代数。

2. 2

   两边同时做变换，把初始条件一并折进去。 用 $\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$，代入 $y(0)=0$、$y'(0)=2$，再用标准变换 $\mathcal{L}\{\delta(t-a)\} = e^{-as}$ 和 $\mathcal{L}\{t^2\} = 2/s^3$：

   $s^2Y - 2 - Y = 4e^{-2s} + \frac{2}{s^3}$

3. 3

   解出 $Y(s)$。 把左边的 $Y$ 提出来：

   $Y(s) = \frac{2}{s^2-1} + \frac{4e^{-2s}}{s^2-1} + \frac{2}{s^3(s^2-1)}$

   这三块可以分别做反变换——这正是转到 $s$ 域里工作换来的好处。

4. 4

   用部分分式拆开难缠的第三项。 设 $\dfrac{1}{s^3(s^2-1)} = \dfrac{A}{s} + \dfrac{B}{s^2} + \dfrac{C}{s^3} + \dfrac{Ds+E}{s^2-1}$，比较系数得 $A = -1$、$B = 0$、$C = -1$、$D = 1$、$E = 0$，于是

   $\frac{2}{s^3(s^2-1)} = -\frac{2}{s} - \frac{2}{s^3} + \frac{2s}{s^2-1}$

5. 5

   逐项做反变换。 用 $\mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2-1)\} = \sinh t$、$\mathcal{L}^{-1}\{s/(s^2-1)\} = \cosh t$、$\mathcal{L}^{-1}\{2/s^3\} = t^2$，以及第二平移（延迟）定理 $\mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\} = u(t-a)f(t-a)$：

   $y(t) = 2\sinh t + 2\cosh t - t^2 - 2 + 4u(t-2)\sinh(t-2)$

6. 6

   化简并检验。 由于 $2\sinh t + 2\cosh t = 2e^{t}$，

   $y(t) = 2e^{t} - t^2 - 2 + 4u(t-2)\sinh(t-2)$

   检验一下：$y(0) = 2 - 0 - 2 = 0$，$y'(0) = 2 - 0 = 2$，都对。当 $t<2$ 时阶跃项还没被激活，$y'' - y = (2e^t - 2) - (2e^t - t^2 - 2) = t^2$，正合要求。到 $t=2$ 处，冲激让 $y'$ 恰好跳变 $4$，而 $y$ 本身保持连续——这正是强度为 $4$ 的单位冲激的物理特征。