求 z = ln( (x − √(x² − y²)) / (x + √(x² − y²)) ) 的两个一阶偏导数。

Step-by-step solution

1. 1

   先把商的对数拆成两个对数之差。 求导之前先化简，可以省掉一整套商法则的运算。记 $u=\sqrt{x^2-y^2}$，则

   $z=\ln(x-u)-\ln(x+u)$

   再把内层根式的两个偏导数一次性记下来，因为后面两个导数都要用：

   $u_x=\frac{x}{\sqrt{x^2-y^2}}=\frac{x}{u},\qquad u_y=\frac{-y}{\sqrt{x^2-y^2}}=-\frac{y}{u}$

   还有一个关系式待会儿能顶大半的工作量：$x^2-u^2=x^2-(x^2-y^2)=y^2$。

2. 2

   对 $x$ 求导，把 $y$ 看成常数。 对每个对数用链式法则，得到

   $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1-u_x}{x-u}-\frac{1+u_x}{x+u}=\frac{1-\dfrac{x}{u}}{x-u}-\frac{1+\dfrac{x}{u}}{x+u}$

   不要停在这里，看到两块形式对称就猜它们会相消——它们并不相消。每一块都必须先化简。

3. 3

   把两块分别化简。 把分子通分到 $u$ 上：

   $\frac{1-\frac{x}{u}}{x-u}=\frac{\frac{u-x}{u}}{x-u}=\frac{-(x-u)}{u(x-u)}=-\frac{1}{u}$

   $\frac{1+\frac{x}{u}}{x+u}=\frac{\frac{u+x}{u}}{x+u}=\frac{x+u}{u(x+u)}=\frac{1}{u}$

   于是第一项是 $-\tfrac1u$，第二项是 $+\tfrac1u$，而导数是两者之差：

   $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{1}{u}-\frac{1}{u}=-\frac{2}{u}=-\frac{2}{\sqrt{x^2-y^2}}$

   这一步一旦符号出错就全盘皆输：$-\tfrac1u$ 减去 $+\tfrac1u$ 得到的是 $-\tfrac2u$，而不是 $0$。

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   对 $y$ 求导，把 $x$ 看成常数。 这时只有 $u$ 依赖于 $y$：

   $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{-u_y}{x-u}-\frac{u_y}{x+u}=\frac{y/u}{x-u}+\frac{y/u}{x+u}=\frac{y}{u}\left(\frac{1}{x-u}+\frac{1}{x+u}\right)$

   两项最后都是正的，因为它们各自都带着同一个因子 $-u_y=+\dfrac{y}{u}$：来自商法则的负号和来自 $u_y=-y/u$ 的负号互相抵消了。

5. 5

   利用 $x^2-u^2=y^2$ 把两个分式合并。

   $\frac{1}{x-u}+\frac{1}{x+u}=\frac{(x+u)+(x-u)}{x^2-u^2}=\frac{2x}{y^2}$

   因此

   $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y}{u}\cdot\frac{2x}{y^2}=\frac{2x}{y\,u}=\frac{2x}{y\sqrt{x^2-y^2}}$

6. 6

   把两个答案都做数值验算。 取 $x=3$，$y=2$，则 $u=\sqrt{9-4}=\sqrt5\approx2.2360680$。用步长 $10^{-6}$ 的中心差分算得

   $z_x\approx-0.8944272,\qquad z_y\approx1.3416408$

   而公式给出 $-2/\sqrt5=-0.8944272$ 和 $2(3)/(2\sqrt5)=1.3416408$，两者都吻合到小数点后七位。（常见的错误答案 $z_x=0$ 一验就露馅：固定 $y$ 让 $x$ 变动时，$z$ 确实是在变的。）