求 x'' + kx = 0 对常数 k 的每一种取值的通解。

Step-by-step solution

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   先写出特征方程。 代入试探解 $x=e^{rt}$，得 $x''=r^{2}e^{rt}$，于是

   $r^{2}e^{rt}+ke^{rt}=e^{rt}\left(r^{2}+k\right)=0$

   因为 $e^{rt}\neq0$，所以特征根满足 $r^{2}=-k$。接下来一切都取决于 $k$ 的符号，因为它决定了 $-k$ 的平方根是实数还是虚数。

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   情形 $k>0$：纯虚根，解是振动的。 此时 $-k<0$，所以 $r=\pm i\sqrt{k}$。实部为零的一对共轭虚根对应正弦和余弦：

   $x(t)=C_{1}\cos\!\left(\sqrt{k}\,t\right)+C_{2}\sin\!\left(\sqrt{k}\,t\right)$

   运动是有界且周期的，周期为 $2\pi/\sqrt{k}$ —— 这正是简谐振动的情形。取 $k=2.5$ 做数值检验，残差小于 $10^{-5}$ ✓。

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   情形 $k=0$：零处的重根。 方程退化成 $x''=0$。积分两次，

   $x'=C_{1}\quad\Longrightarrow\quad x(t)=C_{1}t+C_{2}$

   二重根 $r=0$ 贡献了两个线性无关的解 $1$ 和 $t$ —— 多出来的那个因子 $t$ 正是重根情形的标准规则，也正因为如此，答案是一条直线而不是单个常数。

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   情形 $k<0$：两个实根，指数增长与衰减。 现在 $-k>0$，所以 $r=\pm\sqrt{-k}$ 是一对符号相反的实数：

   $x(t)=C_{1}e^{\sqrt{-k}\,t}+C_{2}e^{-\sqrt{-k}\,t}$

   除非 $C_{1}=0$，否则解是无界的，而且永远不会振荡。取 $k=-2.5$ 做数值检验，残差小于 $10^{-4}$ ✓。等价地也可以写成 $x=A\cosh(\sqrt{-k}\,t)+B\sinh(\sqrt{-k}\,t)$。

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   把三种情形汇总起来。

   $x(t)=\begin{cases}C_{1}\cos\!\left(\sqrt{k}\,t\right)+C_{2}\sin\!\left(\sqrt{k}\,t\right),&k>0\\ C_{1}t+C_{2},&k=0\\ C_{1}e^{\sqrt{-k}\,t}+C_{2}e^{-\sqrt{-k}\,t},&k<0\end{cases}$

   每种情形都恰好带两个任意常数，二阶方程本来就该如此。从物理上看，$k>0$ 对应回复力（弹簧），$k<0$ 对应排斥力（倒立摆）。