求当 x 趋于 0 时 (1 + tan 5x − cos x) 除以 (√(1 − x²) − (1 + x) 的五次方根) 的极限。

Step-by-step solution

1. 1

   先确认是 0/0 型。 在 $x = 0$ 处，分子为 $1 + \tan 0 - \cos 0 = 1 + 0 - 1 = 0$，分母为 $\sqrt{1} - 1 = 0$。两者都为零，所以把它们展开到第一个不消失的阶就能定出极限。

2. 2

   展开分子。 用 $\tan u = u + O(u^3)$ 并取 $u = 5x$，再用 $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$：

   $1 + \tan 5x - \cos x = 1 + 5x - \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) + O(x^3) = 5x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)$

   常数 $1$ 与 $-1$ 抵消，首项是 $5x$——一阶。

3. 3

   用广义二项式级数展开分母。 由 $(1 + u)^\alpha = 1 + \alpha u + O(u^2)$：

   $\sqrt{1 - x^2} = (1 - x^2)^{1/2} = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$

   $(1 + x)^{1/5} = 1 + \frac{x}{5} + O(x^2)$

   关键的不对称在这里：平方根里的自变量是 $-x^2$，所以它没有一次项，而五次方根有。

4. 4

   相减，得到分母的主项。

   $\sqrt{1 - x^2} - (1 + x)^{1/5} = \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) - \left(1 + \frac{x}{5}\right) + O(x^2) = -\frac{x}{5} + O(x^2)$

   所以分母也是一阶的，而且当 $x > 0$ 很小时为负。

5. 5

   约去一个 x 因子后求值。

   $\lim_{x \to 0} \frac{x\left(5 + O(x)\right)}{x\left(-\frac{1}{5} + O(x)\right)} = \frac{5}{-\frac{1}{5}} = -25$

6. 6

   从两侧做数值确认。 在 $x = 10^{-5}$ 处商为 $-24.99950$，在 $x = -10^{-5}$ 处为 $-25.00050$；取 $x = \pm 10^{-6}$ 时收紧到 $-24.99995$ 与 $-25.00005$。双侧极限就是 $-25$。