求函数 a/(4b(x + b)) 乘 exp(−4b/(x + 2b)) 在 x = 0 处的泰勒展开，展开到 x⁴ 项。

Step-by-step solution

1. 1

   先把参数换元换掉。 令 $t=x/b$，则 $x+b=b(1+t)$、$x+2b=b(2+t)$，指数里的 $b$ 会被完全约掉：

   $f=\frac{a}{4b^2}\cdot\underbrace{\frac{1}{1+t}\exp\!\left(-\frac{4}{2+t}\right)}_{g(t)}$

   这样只需展开一个不含参数的级数 $g(t)$ ——正是这一步让后面的代数运算不至于失控。

2. 2

   把指数部分按等比级数展开。 先写成 $-\frac{4}{2+t}=-\frac{2}{1+t/2}$，再对 $u=t/2$ 用 $\frac{1}{1+u}=1-u+u^2-\cdots$：

   $-\frac{4}{2+t}=-2+t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{4}-\frac{t^4}{8}+\cdots$

   领头的 $-2$ 会作为常数 $e^{-2}$ 提到外面去，这就是最终答案的每个系数里都带着 $e^{-2}$ 的原因。

3. 3

   把剩下的部分放进指数。 记 $h(t)=t-\tfrac{t^2}{2}+\tfrac{t^3}{4}-\tfrac{t^4}{8}$，用 $e^{h}=1+h+\tfrac{h^2}{2}+\tfrac{h^3}{6}+\tfrac{h^4}{24}$ 并按幂次归并：

   $\exp\!\left(-\frac{4}{2+t}\right)=e^{-2}\left(1+t+0\cdot t^2-\frac{t^3}{12}+\frac{t^4}{24}+\cdots\right)$

   $t^2$ 的系数恰好抵消：$-\tfrac12+\tfrac12=0$。

4. 4

   再乘上等比因子 $1/(1+t)$。 由 $\frac{1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+t^4-\cdots$，做柯西乘积得到各系数 $1$、$1-1=0$、$1-1+0=0$、$-1+1+0-\tfrac1{12}=-\tfrac1{12}$、$1-1+0+\tfrac1{12}+\tfrac1{24}=\tfrac18$：

   $g(t)=e^{-2}\left(1-\frac{t^3}{12}+\frac{t^4}{8}+\cdots\right)$

   $t$ 项和 $t^2$ 项都消失了——这个函数在原点附近平坦得反常。

5. 5

   把 $t=x/b$ 代回去。

   $f(x)=\frac{a\,e^{-2}}{4b^2}\left[1-\frac{x^3}{12b^3}+\frac{x^4}{8b^4}+\cdots\right]=\frac{a e^{-2}}{4b^2}-\frac{a e^{-2}}{48b^5}x^3+\frac{a e^{-2}}{32b^6}x^4+O(x^5)$

6. 6

   用数值方法验证这些系数。 在 $t\in[-0.3,0.3]$ 上对 $g(t)$ 做八次多项式最小二乘拟合，除以 $e^{-2}$ 后得到的系数依次是 $1.0000$、$3\times10^{-7}$、$-1\times10^{-6}$、$-0.08338$、$0.12509$——与 $1,0,0,-\tfrac1{12}=-0.08333,\tfrac18=0.125$ 吻合 ✓。另外 $g(0)=e^{-2}=0.135335$ ✓。