计算 θ 从 0 到 2π、r 从 0 到 a(1 − cos θ) 的二重积分 ∫∫ r³ cos²θ dr dθ。

Step-by-step solution

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   先看清积分区域。 $r$ 的上限 $r=a(1-\cos\theta)$ 描出一条心形线，尖点落在原点、朝着 $x$ 轴正方向；当 $\theta$ 从 $0$ 走到 $2\pi$ 时，这条曲线恰好被扫过一遍。

2. 2

   先对 r 积分，把 cos²θ 当成常数。 $\int_0^{a(1-\cos\theta)} r^3\,dr = \frac{\left(a(1-\cos\theta)\right)^4}{4} = \frac{a^4}{4}(1-\cos\theta)^4,$ 于是问题化为 $\frac{a^4}{4}\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,(1-\cos\theta)^4\,d\theta.$

3. 3

   把四次方按二项式展开。 $(1-\cos\theta)^4 = 1-4\cos\theta+6\cos^2\theta-4\cos^3\theta+\cos^4\theta$，再乘上 $\cos^2\theta$： $\cos^2\theta-4\cos^3\theta+6\cos^4\theta-4\cos^5\theta+\cos^6\theta.$

4. 4

   丢掉奇数次幂。 在一个完整周期上 $\int_0^{2\pi}\cos^{2k+1}\theta\,d\theta = 0$，所以 $\cos^3$ 和 $\cos^5$ 两项没有任何贡献。这是最省力气的一步。

5. 5

   偶数次幂代入 Wallis 值。 $\int_0^{2\pi}\cos^2 = \pi$，$\int_0^{2\pi}\cos^4 = 2\pi\cdot\tfrac38 = \tfrac{3\pi}{4}$，$\int_0^{2\pi}\cos^6 = 2\pi\cdot\tfrac{5}{16} = \tfrac{5\pi}{8}$。按各自的系数求和： $\pi+6\cdot\frac{3\pi}{4}+\frac{5\pi}{8} = \frac{8\pi+36\pi+5\pi}{8} = \frac{49\pi}{8}.$

6. 6

   乘回前面的系数。 $\frac{a^4}{4}\cdot\frac{49\pi}{8} = \frac{49\pi a^4}{32}.$

7. 7

   数值验证。 取 $a=1.3$，对 $\tfrac{a^4}{4}(1-\cos\theta)^4\cos^2\theta$ 在 $[0,2\pi]$ 上作数值积分得 $13.7394511287$，而 $\tfrac{49\pi(1.3)^4}{32} = 13.7394511287$ —— 十位小数完全吻合。