求 4e^(2x) − sin(2x) 关于 x 的不定积分。

Step-by-step solution

1. 1

   用线性性把积分拆开。 积分对加减可以逐项进行，常数也能提到积分号前面：

   $\int\left(4e^{2x}-\sin 2x\right)dx=4\int e^{2x}\,dx-\int\sin 2x\,dx$

   现在每一块都是内层为一次函数 $2x$ 的标准型。

2. 2

   记住内层是一次式时的「反向链式法则」。 对 $e^{2x}$ 求导会多出一个因子 $2$，所以做积分时就必须除以它：

   $\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C,\qquad \int\sin ax\,dx=-\frac{1}{a}\cos ax+C$

   这一除是最常被漏掉的一步，在本题里它会让答案差出整整一倍。

3. 3

   积出指数那一项。

   $4\int e^{2x}dx=4\cdot\frac12 e^{2x}=2e^{2x}$

4. 4

   积出正弦那一项，盯住两个负号。 公式本身带一个负号，原式前面又有一个：

   $-\int\sin 2x\,dx=-\left(-\frac12\cos 2x\right)=+\frac12\cos 2x$

   结果是 $+\tfrac12\cos 2x$，而不是 $-\tfrac12\cos 2x$。

5. 5

   合并，并补上唯一的一个积分常数。

   $\int\left(4e^{2x}-\sin 2x\right)dx=2e^{2x}+\frac12\cos 2x+C$

6. 6

   求导验证。 $\frac{d}{dx}\left(2e^{2x}\right)=4e^{2x}$，$\frac{d}{dx}\left(\tfrac12\cos 2x\right)=-\sin 2x$，正好把被积函数原样复原。数值上取 $x=0.6$，答案的导数是 $12.34843$，被积函数也是 $12.34843$ ✓。