求时滞微分方程 f'(x) = f(x − 1) 的指数解。

Step-by-step solution

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   先看清这个方程特殊在哪里。 $x$ 处的导数取决于早一个单位处的函数值，所以它是时滞微分方程，而不是普通的常微分方程。用指数函数试解依然管用，但由此得到的特征方程不再是多项式方程。

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   代入 $f(x)=e^{rx}$。 于是 $f'(x)=re^{rx}$，而带时滞的那一项会多出一个常数因子：

   $f(x-1)=e^{r(x-1)}=e^{-r}e^{rx}$

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   约掉 $e^{rx}$，得到特征方程。

   $re^{rx}=e^{-r}e^{rx}\quad\Longrightarrow\quad r=e^{-r}\quad\Longrightarrow\quad re^{r}=1$

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   用朗伯 W 函数解 $re^r=1$。 按定义，$W$ 是映射 $w\mapsto we^{w}$ 的反函数，所以

   $r=W(1)\approx 0.5671432904$

   这个数就是欧米伽常数。它没有初等闭式，而这正是时滞方程的典型特征。

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   写出解，并注意它有无穷多个分支。 实的指数解是

   $f(x)=Ce^{W(1)x}\approx Ce^{0.567143x}$

   又因为 $re^r=1$ 还有无穷多个复根 $r_k=W_k(1)$，一般形式是叠加 $f(x)=\sum_k C_ke^{W_k(1)x}$，把共轭复数成对合并就能保证取值为实数。

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   把这个常数数值验一下。 取 $r=0.5671432904$：$re^{r}=0.5671432904\times 1.763222834=1.000000000$ $\checkmark$，等价地 $e^{-r}=0.567143=r$ $\checkmark$。代回原方程，$f'(x)=rCe^{rx}$，$f(x-1)=Ce^{rx}e^{-r}=rCe^{rx}$，两者完全一致。