画出由 y = x²、y = 2 − x、x = 0 和 x = 1 围成的区域 R，并求 x² + y² 在 R 上先对 y 后对 x 的二重积分。

Step-by-step solution

1. 1

   写上下限之前，先把区域描述清楚。 在带状区域 $0\le x\le 1$ 上比较这两条曲线：$x=0$ 时它们分别给出 $y=0$ 与 $y=2$；$x=1$ 时都给出 $y=1$。由于在 $[0,1]$ 上 $2-x-x^2=(2+x)(1-x)\ge 0$，抛物线全程都是下边界、直线是上边界，两者只在角点 $(1,1)$ 相交。

2. 2

   按 dy dx 的次序写出累次积分。 每个 $x$ 处的竖直切片都干净地从一条曲线连到另一条，所以这个次序不需要把区域拆开：

   $I=\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{2-x}\left(x^{2}+y^{2}\right)dy\,dx.$

3. 3

   做内层积分，把 x 当成常数。

   $\int_{x^{2}}^{2-x}\left(x^{2}+y^{2}\right)dy=\left[x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right]_{y=x^{2}}^{y=2-x}$

   $=x^{2}\left(2-x-x^{2}\right)+\frac{(2-x)^{3}-x^{6}}{3}.$

4. 4

   展开成关于 x 的单个多项式。 用 $(2-x)^3=8-12x+6x^2-x^3$，

   $=2x^{2}-x^{3}-x^{4}+\frac{8-12x+6x^{2}-x^{3}-x^{6}}{3}=\frac{8}{3}-4x+4x^{2}-\frac{4x^{3}}{3}-x^{4}-\frac{x^{6}}{3}.$

5. 5

   从 0 到 1 逐项积分。

   $I=\frac{8}{3}-2+\frac{4}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{21}.$

   通分到公分母 $105$，得到

   $I=\frac{280-210+140-35-21-5}{105}=\frac{149}{105}.$

6. 6

   检查一下结果的量级。 区域面积是 $\int_0^1(2-x-x^2)dx=2-\tfrac12-\tfrac13=\tfrac76\approx1.167$，而 $x^2+y^2$ 在其上从 $0$ 变到 $4$，所以平均值大约 $\tfrac{149/105}{7/6}\approx1.22$ 完全说得通。在同一区域上做蒙特卡洛估计得到 $1.4195$，与 $149/105\approx1.4190$ 吻合。