求 f(x) = x 从 0 到 4 的定积分。

Step-by-step solution

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   先判断该用哪条法则。 被积函数 $x$ 就是幂 $x^{1}$，所以直接套幂函数法则 $\int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$，取 $n=1$ 即可——不需要换元，也不需要分部积分。

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   写出原函数。

   $\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C$

   算定积分时常数 $C$ 可以丢掉：它在上限和下限处各出现一次，相减时正好抵消。

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   用微积分基本定理。 把原函数在上限处取值，再减去它在下限处的值：

   $\int_{0}^{4}x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4}=\frac{4^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{16}{2}-0=8$

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   用几何意义检验结果。 在 $[0,4]$ 上 $y=x$ 的图像是一条直线，所以它下方的区域是一个底为 $4$、高为 $4$ 的直角三角形：

   $\text{面积}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8$

   几何面积与用原函数算出的结果完全一致，对线性被积函数来说这是最有力的验证。

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   写出答案。

   $\int_{0}^{4}x\,dx=8$