设 a > 0，把 ln(x + √(a + x²)) 用反双曲正弦表示。

Step-by-step solution

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   先看清这一版的不同之处。 标准恒等式

   $\operatorname{arsinh}(u)=\ln\left(u+\sqrt{u^{2}+1}\right)$

   要求根号下的常数是 $1$。而这里的常数就是 $a$ 本身，不是 $a^{2}$，所以用来归一化的缩放因子是 $\sqrt a$ 而不是 $a$ —— 就这一点差别，改变了最后那个相加的常数。

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   从根号里把 $a$ 提出来。 当 $a>0$ 时，

   $\sqrt{x^{2}+a}=\sqrt{a\left(\frac{x^{2}}{a}+1\right)}=\sqrt a\,\sqrt{\left(\frac{x}{\sqrt a}\right)^{2}+1}$

   这里把 $\dfrac{x^{2}}{a}$ 写成 $\left(\dfrac{x}{\sqrt a}\right)^{2}$，正是为了露出所需的形式。

3. 3

   从整个括号里把 $\sqrt a$ 提出来。

   $x+\sqrt{x^{2}+a}=\sqrt a\left(\frac{x}{\sqrt a}+\sqrt{\left(\frac{x}{\sqrt a}\right)^{2}+1}\right)$

   现在括号里的东西，就是 arsinh 恒等式中取 $u=\dfrac{x}{\sqrt a}$ 时的那个自变量。

4. 4

   把乘积的对数拆开。 用 $\ln(MN)=\ln M+\ln N$：

   $\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+a}\right)=\ln\sqrt a+\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{\sqrt a}\right)$

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   化简那个常数。 因为 $\ln\sqrt a=\ln a^{1/2}=\tfrac12\ln a$，所以

   $\ln\left(x+\sqrt{a+x^{2}}\right)=\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{\sqrt a}\right)+\frac12\ln a$

   与根号里是 $a^{2}$ 的那一版对比一下：那里的常数是完整的 $\ln a$。根号下的次数减半，对数也跟着减半。

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   代数值验证。 取 $a=2.7$、$x=1.3$：左边是 $\ln\left(1.3+\sqrt{2.7+1.69}\right)=1.2223723$，右边是 $\operatorname{arsinh}\left(1.3/1.64317\right)+\tfrac12\ln 2.7=0.72575+0.49663=1.2223723$ ✓。