若函数在 x 趋于正无穷时趋于 a，在 x 趋于负无穷时趋于 −a，它有几条水平渐近线？

Step-by-step solution

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   回到定义——图像的两端要分开判断。 若 $f(x)\to L$（当 $x\to+\infty$ 或 $x\to-\infty$ 时），则直线 $y=L$ 是 $f$ 的一条水平渐近线。两个方向是彼此独立的条件，这正是同一个函数可以有不止一条水平渐近线的原因（垂直渐近线的条数也不受限，但那是另一回事）。

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   把定义分别用在两个极限上。 在 $+\infty$ 处的极限 $a$ 让 $y=a$ 成为一条渐近线，在 $-\infty$ 处的极限 $-a$ 让 $y=-a$ 成为一条渐近线。两者都成立的前提是 $a$ 是一个有限的数——极限为无穷根本谈不上水平渐近线，那反而说明函数无界增长或存在斜渐近线。

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   数一数，并把 $a=0$ 单独拿出来讨论。 若 $a\neq0$，则 $a$ 与 $-a$ 是两个不同的数，于是有两条水平渐近线：

   $y=a\qquad\text{和}\qquad y=-a$

   若 $a=0$，则 $a=-a=0$，两条直线重合，就只有一条渐近线 $y=0$。

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   看一个具体例子。 取

   $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$

   当 $|x|$ 很大时 $\sqrt{x^{2}+1}\approx|x|$，所以 $f(x)\approx x/|x|$，在 $x$ 为正时是 $+1$，在 $x$ 为负时是 $-1$。数值上 $f(10^{8})=1$、$f(-10^{8})=-1$，误差都在 $10^{-12}$ 以内 ✓，所以这个函数有 $y=1$ 和 $y=-1$ 两条渐近线——正是 $a=1$ 的情形。

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   说明条数的上限。 一个函数最多只能有两条水平渐近线，每个方向一条，因为 $x\to+\infty$ 和 $x\to-\infty$ 各自只允许有一个极限。常见的例子有 $\arctan x$（渐近线是 $y=\pm\pi/2$）和 $\tanh x$（渐近线是 $y=\pm1$）——都恰好是 $a$、$-a$ 这种形状。