设 f 在整个实数轴上可导。证明：f 在整个实数轴上连续。

Step-by-step solution

1. 1

   先把结论归约到一个点上。 在 $\mathbb{R}$ 上连续就是在每个 $a\in\mathbb{R}$ 处连续，所以只要任取一个 $a$ 并证明

   $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

   即可。等价地，就是证 $\displaystyle\lim_{x\to a}\big(f(x)-f(a)\big)=0$。

2. 2

   用上条件。 由假设，$f$ 在 $a$ 处可导，也就是说极限

   $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

   作为一个有限数存在。我们手上只有这一个条件，所以整个证明都必须围绕它来安排。

3. 3

   人为地把差商插进来。 对 $x\neq a$，下面这个式子是恒等式，做法就是同乘同除一个 $x-a$：

   $f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot(x-a)$

   这就是全部技巧所在：它把一个未知的差值变成两个因子的乘积，一个因子的极限已知，另一个因子显然趋于 $0$。

4. 4

   用极限的乘法法则取极限。 两个因子的极限都存在，所以乘积的极限等于极限的乘积：

   $\lim_{x\to a}\big(f(x)-f(a)\big)=\left(\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right)\cdot\left(\lim_{x\to a}(x-a)\right)=f'(a)\cdot 0=0$

   $f'(a)$ 的有限性在这里是关键——如果导数是无穷大，剩下的就是一个 $\infty\cdot 0$ 型的未定式。

5. 5

   得出结论。 于是 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$，即 $f$ 在 $a$ 处连续。由于 $a$ 是任取的，

   $\boxed{f\text{ 在整个 }\mathbb{R}\text{ 上连续}}$

6. 6

   注意逆命题不成立。 连续推不出可导：$f(x)=|x|$ 在 $0$ 处连续，但差商 $\tfrac{|x|}{x}$ 从右侧趋于 $+1$、从左侧趋于 $-1$，所以 $f'(0)$ 不存在。魏尔斯特拉斯函数更是处处连续、处处不可导，可见这个差距不是个别的小例外。