在 x = -7 到 x = 0 上作出 f(x) = -2x² · eˣ 的图像，并指出驻点、拐点和值域。

Step-by-step solution

1. 1

   先看符号和端点。 由于恒有 $x^2\ge 0$、$e^x>0$，前面的因子 $-2$ 就迫使

   $f(x)\le 0\quad\text{对一切 }x,\qquad f(x)=0\text{ 只在 }x=0$

   在左端点 $f(-7)=-98e^{-7}\approx -0.0894$，可见曲线一开始就贴在 x 轴下方一点点 —— 指数因子早已把 $x^2$ 的增长压了下去。

2. 2

   用乘积法则求导。

   $f^{\prime}(x)=-2\left(2xe^{x}+x^{2}e^{x}\right)=-2xe^{x}(x+2)$

   所以驻点是 $x=0$ 和 $x=-2$；因子 $e^x$ 永不为零。

3. 3

   判断各段的升降。 当 $x<-2$ 时 $x$ 与 $x+2$ 同为负，乘积为正，故 $f^{\prime}<0$：曲线下降。当 $-2<x<0$ 时乘积为负，故 $f^{\prime}>0$：曲线上升。于是

   $x=-2\ \text{是极小值点},\qquad f(-2)=-2(4)e^{-2}=-\frac{8}{e^{2}}\approx -1.0827$

   而 $x=0$ 是该区间上的最大值点，$f(0)=0$。

4. 4

   由二阶导数求拐点。

   $f^{\prime\prime}(x)=-2e^{x}\left(x^{2}+4x+2\right)$

   $x^{2}+4x+2=0\;\Longrightarrow\;x=-2\pm\sqrt2\approx -3.4142,\ -0.5858$

   对应 $f(-3.4142)\approx -0.7671$、$f(-0.5858)\approx -0.3820$。曲线在这两点之间下凸（凹向上），在它们之外上凸（凹向下）。

5. 5

   把图像拼起来并写出值域。 在 $[-7,0]$ 上，图像从 $-0.089$ 附近出发，下降到谷底 $\left(-2,\,-8e^{-2}\right)$，然后从下方爬回原点，到达时因为 $f^{\prime}(0)=0$ 而变平。所以值域是

   $\left[-\frac{8}{e^{2}},\,0\right]\approx[-1.0827,\,0]$

   再用几个数值快速核对形状：$f(-7)=-0.0894$、$f(-3.4142)=-0.7671$、$f(-2)=-1.0827$、$f(-0.5858)=-0.3820$、$f(0)=0\;\checkmark$。