解微分方程 dy/dx = 6 − y/2。

Step-by-step solution

1. 1

   先化成线性方程的标准形式。 把含 $y$ 的项移到左边：

   $\frac{dy}{dx}+\frac12 y=6$

   这正是 $y'+p(x)y=q(x)$ 的样子，其中 $p=\frac12$、$q=6$ 都是常数，所以积分因子法可以直接用。

2. 2

   先把平衡解找出来——它能预告答案的形状。 常数解要求 $\frac{dy}{dx}=0$，也就是 $6-\frac{y}{2}=0$，于是 $y=12$。这个常函数确实是一个解；又因为在原式里 $y$ 的系数是负的，所以各条解应当衰减着趋向 $12$。可以预期答案长成「$12$ 加上一个衰减项」的样子。

3. 3

   构造积分因子。

   $\mu(x)=e^{\int \frac12\,dx}=e^{x/2}$

4. 4

   两边同乘，认出这是一个乘积的导数。

   $e^{x/2}\frac{dy}{dx}+\frac12 e^{x/2}y=6e^{x/2}\;\Longrightarrow\;\frac{d}{dx}\left(ye^{x/2}\right)=6e^{x/2}$

   把左边收成一个导数，就是引入因子 $e^{x/2}$ 的全部意义。

5. 5

   积分后解出 $y$。 因为 $\int 6e^{x/2}\,dx=12e^{x/2}+C$，所以

   $ye^{x/2}=12e^{x/2}+C\;\Longrightarrow\;y=12+Ce^{-x/2}$

   用分离变量法会得到同一族解，积分常数被 $C$ 吸收进去了。

6. 6

   验算，并读出解的走势。 求导得 $y'=-\frac{C}{2}e^{-x/2}$，而右边是

   $6-\frac{y}{2}=6-6-\frac{C}{2}e^{-x/2}=-\frac{C}{2}e^{-x/2}$

   对任意 $C$ 两者都相等。当 $x\to\infty$ 时指数项趋于零，不论初值是多少都有 $y\to 12$，所以 $y=12$（即 $C=0$ 的情形）是一个稳定平衡解。