计算 5y^(2/5) 关于 y 的不定积分。

Step-by-step solution

1. 1

   先把常数提到积分号外。 数字因子可以直接穿过积分号：

   $\int 5y^{2/5}\,dy=5\int y^{2/5}\,dy$

2. 2

   套用幂函数的积分公式。 当 $n\neq -1$ 时：

   $\int y^n\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C$

   这里 $n=\tfrac25$，离被排除的 $-1$ 远得很，公式可以放心用。

3. 3

   指数加 1。 通分到分母 $5$：

   $\frac{2}{5}+1=\frac{2}{5}+\frac{5}{5}=\frac{7}{5}$

   $\int y^{2/5}\,dy=\frac{y^{7/5}}{7/5}$

4. 4

   除以一个分数等于乘它的倒数。 除以 $\tfrac75$ 就是乘 $\tfrac57$：

   $5\cdot\frac{5}{7}y^{7/5}=\frac{25}{7}y^{7/5}$

   所以原函数是 $\tfrac{25}{7}y^{7/5}+C$。

5. 5

   求导验回去。 导数必须还原成被积函数：

   $\frac{d}{dy}\left(\frac{25}{7}y^{7/5}\right)=\frac{25}{7}\cdot\frac{7}{5}y^{2/5}=5y^{2/5}\qquad\checkmark$

   数值上取 $y=2$，导数是 $5\cdot 2^{0.4}\approx 6.5975$，与对原函数做数值差商的结果一致 $\checkmark$。