求 n 趋于无穷时 (−1)ⁿ/n 的极限。

Step-by-step solution

1. 1

   把有界的部分与趋于零的部分分开看。 分子 $(-1)^{n}$ 本身根本没有极限——它永远在 $-1,1,-1,1,\dots$ 之间摆动。分母 $n$ 则无限增大。有界量除以趋于无穷的量必然趋于零，用大白话说，整个论证就是这一句。

2. 2

   取绝对值，把这个论证说严格。 因为对任意 $n$ 都有 $\left|(-1)^{n}\right|=1$，

   $\left|\frac{(-1)^{n}}{n}\right|=\frac{1}{n}$

   一旦改成衡量大小而不是符号，摆动就彻底消失了。

3. 3

   用夹逼把数列夹住。 对一切 $n\ge 1$，

   $-\frac{1}{n}\le\frac{(-1)^{n}}{n}\le\frac{1}{n}$

   两侧的界都趋于 $0$，被夹在中间的数列自然也趋于 $0$。

4. 4

   写出极限。

   $\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}=0$

   尽管这个数列始终不肯停在 $0$ 的某一侧，它仍然是收敛的：收敛只要求各项趋近某个值，并不要求从固定的一侧趋近。

5. 5

   和单独的 $(-1)^{n}$ 对比一下。 若没有 $\tfrac1n$ 这个因子，数列就没有极限，因为它的相邻项永远相距 $2$。正是这个趋于零的因子救回了收敛性——这也是交错调和级数 $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ 按交错级数判别法收敛的原因。