求 x² · sin(x) 从 x = 0 到 x = 2 的定积分。

Step-by-step solution

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   用两次分部积分求原函数。 取 $u=x^{2}$、$dv=\sin x\,dx$，得到 $-x^{2}\cos x+\int 2x\cos x\,dx$；再取 $u=x$、$dv=\cos x\,dx$ 做第二次，得到 $\int x\cos x\,dx=x\sin x+\cos x$。合起来就是

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$

   原函数与积分限无关，所以值得推一次、反复拿来用。

2. 2

   看清积分限 $0$ 和 $2$ 带来的差别。 这里的 $2$ 是普通的弧度数，不是 $\pi$ 的整数倍，所以 $\sin 2$ 和 $\cos 2$ 化不成 $0$ 或 $\pm1$。精确答案里必然同时含这两个量，过早取近似值是本题最大的坑。

3. 3

   代入上限 $x=2$。

   $-4\cos 2+4\sin 2+2\cos 2=4\sin 2-2\cos 2$

   两个余弦项部分抵消：$-4\cos 2+2\cos 2=-2\cos 2$。

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   代入下限 $x=0$。

   $-0\cdot\cos 0+0\cdot\sin 0+2\cos 0=2$

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   相减得到精确值。

   $\int_{0}^{2}x^{2}\sin x\,dx=4\sin 2-2\cos 2-2$

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   换成小数并检查符号。 取 $\sin 2=0.909297$、$\cos 2=-0.416147$：

   $4(0.909297)-2(-0.416147)-2=3.637190+0.832294-2=2.469483$

   辛普森公式给出 $2.4694834$ ✓。结果为正，是因为在整个 $[0,2]$ 上都有 $\sin x>0$（毕竟 $2<\pi$）。