求 3/x − 2/x² 关于 x 的不定积分。

Step-by-step solution

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   按线性性拆开，把常数提到积分号外。

   $\int\left(\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}\right)dx=3\int\frac{dx}{x}-2\int\frac{dx}{x^2}$

   定义域是 $x\neq0$，原函数在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,\infty)$ 上分别成立。

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   第一项：幂函数法则唯一处理不了的情形。 把 $\tfrac1x$ 写成 $x^{-1}$，法则 $\int x^ndx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}$ 会除以 $n+1=0$。所以 $n=-1$ 是例外，要交给对数：

   $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$

   加绝对值正是为了让它在 $x$ 为负时依然成立。于是第一项贡献 $3\ln|x|$。

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   第二项：幂函数法则正常适用。 这里 $\tfrac{1}{x^2}=x^{-2}$，$n+1=-1\neq0$：

   $\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac1x$

   所以 $2\int x^{-2}dx=-\dfrac{2}{x}$。

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   把前面的负号带上。 被积函数里第二块是减去的：

   $-2\int x^{-2}dx=-\left(-\frac{2}{x}\right)=+\frac{2}{x}$

   这个变号是最常被漏掉的一步——答案里是 $+\tfrac2x$，不是 $-\tfrac2x$。

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   合成一个原函数。

   $\int\left(\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}\right)dx=3\ln|x|+\frac{2}{x}+C$

   两项看着差不多，积出来却是完全不同的两类函数——一个是对数，一个是分式。

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   求导验证。 $\dfrac{d}{dx}\left[3\ln|x|+\tfrac2x\right]=\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x^2}$ ✓。数值上，在 $x=0.7,\ 2.3,\ -1.6$ 处用对称差商计算，与被积函数吻合到五位有效数字 ✓，其中还包含一个负的 $x$。