求 y = x^2 / tan x 的 dy/dx。

Step-by-step solution

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   先分出商的求导法则里的两部分。 把 $y=\frac{u}{v}$ 写成 $u=x^2$、$v=\tan x$。商的求导法则是 $y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$；两个乘积的先后顺序不能颠倒，务必让 $u'v$ 在前。

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   对分子求导。 由幂函数求导法则，$u'=2x$。

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   对分母求导。 正切函数的标准导数是 $v'=\sec^2 x$，它本身可以由 $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ 再用一次商的求导法则得到。

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   代入法则。 代入后得 $\frac{dy}{dx}=\frac{2x\tan x-x^2\sec^2 x}{\tan^2 x}$。

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   用正弦、余弦化简。 把 $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$、$\sec x=\frac{1}{\cos x}$ 代进去并约去繁分数，结果化为 $\frac{2x\sin x\cos x-x^2}{\sin^2 x}$，这种形式在数值计算时更方便。

6. 6

   注意定义域。 该公式在 $\tan x$ 有定义且不为零的地方成立，也就是 $x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$ 且 $x\neq k\pi$。