求 4 / (x² · 2^(1/x)) 当 x 趋于 0 时的极限。

Step-by-step solution

1. 1

   注意 $1/x$ 跨过零点时要变号。 当 $x\to 0^{+}$ 时 $1/x\to+\infty$，$2^{1/x}\to+\infty$；当 $x\to 0^{-}$ 时 $1/x\to-\infty$，$2^{1/x}\to 0^{+}$。由于这个因子在两侧的表现截然相反，两个单侧极限必须分开计算——以为会有一个统一答案，正是这里的陷阱。

2. 2

   右极限：作换元 $t=1/x$。 当 $x\to 0^{+}$ 时 $t\to+\infty$，且 $x^2=1/t^2$，于是

   $\frac{4}{x^2\cdot 2^{1/x}}=\frac{4}{\frac{1}{t^2}\cdot 2^{t}}=\frac{4t^2}{2^{t}}$

   这个换元把一个别扭的 $0\cdot\infty$ 型分母，变成了多项式与指数函数之间那场熟悉的赛跑。

3. 3

   指数增长获胜，所以右极限是 0。 对任何固定的幂次都有 $\displaystyle\lim_{t\to\infty}\frac{t^{n}}{2^{t}}=0$（$n=2$ 时用两次洛必达法则即可解决）。因此

   $\lim_{x\to 0^{+}}\frac{4}{x^2\cdot 2^{1/x}}=0$

4. 4

   左极限：作换元 $t=-1/x$。 这时 $x\to 0^{-}$ 给出 $t\to+\infty$，$x^2=1/t^2$，$2^{1/x}=2^{-t}=\dfrac{1}{2^{t}}$，于是式子变成

   $\frac{4}{\frac{1}{t^2}\cdot\frac{1}{2^{t}}}=4t^2 2^{t}\to+\infty$

   分母的两个因子都缩向零，所以整个分式爆掉。

5. 5

   结论：双侧极限不存在。 因为

   $\lim_{x\to 0^{+}}=0\neq +\infty=\lim_{x\to 0^{-}}$

   两个单侧极限并不一致，而只有在它们一致时，双侧极限才存在。

6. 6

   看看具体数字。 在 $x=0.02$ 处函数值是 $8.9\times 10^{-12}$；而在 $x=-0.02$ 处却是 $1.1\times 10^{19}$。同一个式子，在零点两侧同样近的地方取值，竟相差三十个数量级——这非常直观地印证了并不存在统一的极限值。