求导并化简结果：g(x) = eˣ·ln(x² + 1) / (√(sin x) + 2)。

Step-by-step solution

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   动手之前先把结构看清楚。 这是一个商，它的分子本身是乘积，分母里还藏着一层链式法则。给各部分起名字，能让整个计算过程不出乱子：

   $g(x)=\frac{u(x)}{v(x)},\qquad u(x)=e^{x}\ln\left(x^{2}+1\right),\qquad v(x)=\sqrt{\sin x}+2$

   最外层用的工具是商法则

   $g'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{\left[v(x)\right]^{2}}$

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   分子用乘积法则，内层再套一次链式法则。 由 $\left(e^{x}\right)'=e^{x}$ 与 $\left(\ln\left(x^{2}+1\right)\right)'=\dfrac{2x}{x^{2}+1}$（对 $\ln$ 里的 $x^{2}+1$ 用链式法则）：

   $u'(x)=e^{x}\ln\left(x^{2}+1\right)+e^{x}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}=e^{x}\left(\ln\left(x^{2}+1\right)+\frac{2x}{x^{2}+1}\right)$

   这里马上把 $e^{x}$ 提出来，后面的代数化简会短很多。

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   再给分母求导。 把 $\sqrt{\sin x}$ 写成 $\left(\sin x\right)^{1/2}$ 后用链式法则；常数 $2$ 求导为零，不贡献任何东西：

   $v'(x)=\frac{1}{2}\left(\sin x\right)^{-1/2}\cos x=\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$

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   代入商法则拼装起来。 把四个部分依次代进去：

   $g'(x)=\frac{e^{x}\left(\ln\left(x^{2}+1\right)+\dfrac{2x}{x^{2}+1}\right)\left(\sqrt{\sin x}+2\right)-e^{x}\ln\left(x^{2}+1\right)\cdot\dfrac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}}{\left(\sqrt{\sin x}+2\right)^{2}}$

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   提出公因子 $e^{x}$ 化简。 分子的两项都带着 $e^{x}$，把它提到外面：

   $g'(x)=\frac{e^{x}\left[\left(\ln\left(x^{2}+1\right)+\dfrac{2x}{x^{2}+1}\right)\left(\sqrt{\sin x}+2\right)-\dfrac{\ln\left(x^{2}+1\right)\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\right]}{\left(\sqrt{\sin x}+2\right)^{2}}$

   再往下就约不动了，因为对数和根式之间没有公因式。

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   注意定义域，并做数值检验。 这个式子要求 $\sin x>0$——必须严格大于零，而不只是非负，因为求导之后 $\sqrt{\sin x}$ 落在了分母上——所以 $x\in(2k\pi,(2k+1)\pi)$。在 $x=0.5,1,2,2.9$ 处取 $h=10^{-6}$ 作 $g$ 的中心差商与公式对照，两边都给出 $0.5943697$、$1.5124325$、$6.3252411$ 与 $27.3951392$，前七位有效数字完全一致。