解微分方程 2xy(y′)² + 2(x² + y²)y′ + 2xy = 0，先解出 y′，再对得到的每个一阶方程积分。

Step-by-step solution

1. 1

   先认清这个方程对 $y'$ 而言是代数的，还谈不上微分。 两边除以 $2$，并记 $p=y'$：

   $xy\,p^{2}+(x^{2}+y^{2})\,p+xy=0.$

   式子里根本没出现 $p$ 的导数，所以这就是一个普通的一元二次方程，只不过它的「系数」恰好依赖 $x$ 和 $y$。把它解出来，一个乱糟糟的方程就变成两个干净的可分离变量方程。

2. 2

   算判别式，注意它是完全平方。

   $(x^{2}+y^{2})^{2}-4(xy)(xy)=x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}-y^{2})^{2}.$

   这正是本题能求出封闭解的原因：根号开得出来，$\sqrt{(x^{2}-y^{2})^{2}}=|x^{2}-y^{2}|$，而正负号已经被求根公式里的 $\pm$ 吸收掉了。

3. 3

   读出两个分支。

   $p=\frac{-(x^{2}+y^{2})\pm(x^{2}-y^{2})}{2xy}.$

   取 $+$ 号得 $p=\dfrac{-2y^{2}}{2xy}=-\dfrac{y}{x}$；取 $-$ 号得 $p=\dfrac{-2x^{2}}{2xy}=-\dfrac{x}{y}$。两个都能分离变量。

4. 4

   对第一个分支 $y'=-y/x$ 积分。 分离变量后，

   $\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}\;\Longrightarrow\;\ln|y|=-\ln|x|+c\;\Longrightarrow\;\ln|xy|=c,$

   于是 $xy=C_{1}$：这是一族等轴双曲线。

5. 5

   对第二个分支 $y'=-x/y$ 积分。 分离变量后，

   $y\,dy=-x\,dx\;\Longrightarrow\;\frac{y^{2}}{2}=-\frac{x^{2}}{2}+c\;\Longrightarrow\;x^{2}+y^{2}=C_{2}:$

   这是一族以原点为圆心的圆。

6. 6

   把两族曲线都代回原方程检验。 对 $xy=C_1$，有 $y'=-y/x$；代入得 $xy\frac{y^{2}}{x^{2}}-(x^{2}+y^{2})\frac{y}{x}+xy=\frac{y^{3}}{x}-xy-\frac{y^{3}}{x}+xy=0$。对 $x^{2}+y^{2}=C_2$，有 $y'=-x/y$；代入得 $xy\frac{x^{2}}{y^{2}}-(x^{2}+y^{2})\frac{x}{y}+xy=\frac{x^{3}}{y}-\frac{x^{3}}{y}-xy+xy=0$。两者都恒等于零。从几何上看这两族曲线并不正交：斜率 $-y/x$ 与 $-x/y$ 之积是 $+1$ 而非 $-1$。它们是同一个二次方程的两个根，且恰好在 $|x|=|y|$ 处相等——那里判别式为零、两个分支合并，双曲线与圆是相切而非垂直。（$xy=C$ 的正交轨线是双曲线 $x^2-y^2=C$。）