计算 x² − 8y 在区域 D = {−2 ≤ x ≤ −1, 0 ≤ y ≤ 1} 上的二重积分。

Step-by-step solution

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   认出这是矩形区域，而且各项能分离。 在积分限都是常数的矩形上，和的积分可以拆成积分的和；而这里每一项都只含一个变量，所以每一项都化成了一维积分的乘积。

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   把被积函数拆开。 $\iint_D\left(x^2-8y\right)dA=\iint_D x^2\,dA-8\iint_D y\,dA$。分开处理这两块，就不必让两个变量同时挤在一个原函数里。

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   算 x² 那一块。 $\int_{-2}^{-1}x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{-1}=\frac{-1}{3}-\frac{-8}{3}=\frac73$，而 $\int_0^1 dy=1$，所以这一块贡献 $\frac73$。注意 $x$ 虽然是负的，$x^2$ 仍然为正。

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   算 −8y 那一块。 $\int_{-2}^{-1}dx=1$，$\int_0^1 y\,dy=\frac12$，所以这一块贡献 $-8\cdot 1\cdot\frac12=-4$。

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   合并。 $\frac73-4=\frac{7-12}{3}=-\frac53\approx -1.6667$。结果为负在意料之中：$-8y$ 这一项压过了 $x^2$ —— 在这个矩形上 $x^2$ 最大不超过 $4$，而 $8y$ 能取到 $8$。

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   数值校验。 在同一个矩形上做自适应数值积分，得到 $-1.6666667$，与 $-\frac53$ 吻合。