计算 sin(x)/sin²(4cos(x)) dx 的积分。

Step-by-step solution

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   先认出内层函数和它的导数。 麻烦的地方是复合式 $\sin^{2}(4\cos x)$，它的内层函数是 $4\cos x$。这个内层函数的导数是 $-4\sin x$，而分子里本来就摆着一个 $\sin x$，所以换元 $u=4\cos x$ 可以把整个积分彻底化开。

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   把换元做出来。 由 $u=4\cos x$ 得 $du=-4\sin x\,dx$，于是 $\sin x\,dx=-\frac14\,du$，从而 $\int\frac{\sin x}{\sin^{2}(4\cos x)}\,dx=-\frac14\int\frac{du}{\sin^{2}u}=-\frac14\int\csc^{2}u\,du .$

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   套用余割平方的标准原函数。 因为 $\frac{d}{du}\cot u=-\csc^{2}u$，所以 $\int\csc^{2}u\,du=-\cot u+C$，于是 $-\frac14\int\csc^{2}u\,du=\frac14\cot u+C .$

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   换回原来的变量。 把 $u=4\cos x$ 代回去，得到 $\int\frac{\sin x}{\sin^{2}(4\cos x)}\,dx=\frac14\cot(4\cos x)+C .$

5. 5

   求导验证。 $\frac{d}{dx}\left[\frac14\cot(4\cos x)\right]=\frac14\left(-\csc^{2}(4\cos x)\right)\cdot(-4\sin x)=\frac{\sin x}{\sin^{2}(4\cos x)}$，正是原来的被积函数，所以在每一个使 $\sin(4\cos x)\ne 0$ 的区间上，这个原函数都成立。