解一阶线性微分方程 dy/dx + 2y = e^(−x)。

Step-by-step solution

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   先确认方程已经是标准的线性形式。 一阶线性方程长这样：$\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$。这里 $P(x)=2$、$Q(x)=e^{-x}$，导数项的系数正好是 $1$ —— 动手之前不必再做除法化简。

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   构造积分因子。 整套方法存在的意义，就是把左端硬凑成一个整体的导数。能做到这一点的因子是

   $\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$

   （积分常数直接扔掉，因为 $\mu$ 的任何非零倍数效果都一样）。

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   乘进去，把左端合并成一项。 每一项都乘上 $e^{2x}$：

   $e^{2x}\frac{dy}{dx} + 2e^{2x}y = e^{2x}e^{-x} = e^{x}$

   左端恰好就是乘积求导法则反着用：

   $\frac{d}{dx}\left(e^{2x}y\right) = e^{x}$

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   两边各积分一次。 左端积分把导数直接抵消掉，右端也是最基本的积分：

   $e^{2x}y = e^{x} + C$

   任意常数 $C$ 就在这里出现，也只能在这里出现 —— 一阶方程恰好带一个常数。

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   解出 $y$。 两边除以 $e^{2x}$，也就是乘以 $e^{-2x}$：

   $y = e^{-2x}\left(e^{x} + C\right) = e^{-x} + Ce^{-2x}$

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   代回去验证。 取 $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$，导数是 $y' = -e^{-x} - 2Ce^{-2x}$，于是

   $y' + 2y = \left(-e^{-x} - 2Ce^{-2x}\right) + \left(2e^{-x} + 2Ce^{-2x}\right) = e^{-x}$

   含 $C$ 的项对任何 $C$ 都相消，通解得到确认。其中 $e^{-x}$ 是特解，$Ce^{-2x}$ 是不断衰减的齐次部分。