计算 xyz 在单位立方体 0 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ 1、0 ≤ z ≤ 1 上的三重积分。

Step-by-step solution

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   先确认这个积分能分离变量。 六个积分限全是常数，被积函数又是纯粹的乘积 $x \cdot y \cdot z$，每个因子只依赖一个变量。这正是重积分能拆成若干个一元积分之乘积的条件——最后一步用来验算的捷径就靠它。

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   先对 z 积分，把 x 和 y 看作常数。

   $\int_0^1 xyz\,dz = xy\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^1 = \frac{xy}{2}$

   这一步只对 $z$ 积分，所以 $xy$ 原封不动地被带出来。

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   再对 y 积分。

   $\int_0^1 \frac{xy}{2}\,dy = \frac{x}{2}\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^1 = \frac{x}{4}$

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   最后对 x 积分。

   $\int_0^1 \frac{x}{4}\,dx = \frac{1}{4}\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{8}$

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   用分离形式核对。 因为积分可以拆开，

   $\int_0^1 \!\! \int_0^1 \!\! \int_0^1 xyz\,dV = \left(\int_0^1 x\,dx\right)\left(\int_0^1 y\,dy\right)\left(\int_0^1 z\,dz\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$

   由于立方体的体积是 $1$，这个值同时也是 $xyz$ 在立方体上的平均值；它与「$x$、$y$、$z$ 相互独立且服从均匀分布时乘积的期望是 $\tfrac12 \cdot \tfrac12 \cdot \tfrac12$」这一事实完全吻合。