用二重积分求 y = 4x − x² 与直线 y = x 之间区域的面积。

Step-by-step solution

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   先求两条曲线的交点。 令 $4x-x^{2}=x$，得 $3x-x^{2}=0$，即 $x(3-x)=0$，所以两条曲线在 $x=0$ 和 $x=3$ 处相交。这两处都有 $y=x$，故交点为 $(0,0)$ 与 $(3,3)$。这两个值就是积分的外层上下限。

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   判断哪条曲线在上方。 取区间内一点检验：$x=1$ 时抛物线给出 $4(1)-1^{2}=3$，直线只给出 $1$。所以在整个 $0<x<3$ 上抛物线都在直线上方，区域为 $R=\left\{(x,y):0\le x\le 3,\ x\le y\le 4x-x^{2}\right\}.$

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   把面积写成二重积分。 面积就是常数 $1$ 在该区域上的二重积分，按上面竖条的描述，$A=\iint_R 1\,dA=\int_{0}^{3}\int_{x}^{4x-x^{2}}1\,dy\,dx .$

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   先算内层积分。 对 $y$ 积分常数 $1$，量出来的正是竖条的高度，$\int_{x}^{4x-x^{2}}1\,dy=(4x-x^{2})-x=3x-x^{2},$ 这就是一元面积问题里熟悉的“上减下”被积函数。

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   再算外层积分。 $A=\int_{0}^{3}\left(3x-x^{2}\right)dx=\left[\frac{3x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=\frac{27}{2}-9=\frac{9}{2}.$ 被积函数 $3x-x^{2}$ 在 $[0,3]$ 上非负，所以结果为正——面积本来就该是正的。