求正整数 n 时 sin^(2n)(x) 的不定积分。要求给出递推公式、显式闭式，以及 n = 1, 2, 3 的结果。

Step-by-step solution

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   为什么要用递推公式，而不是换元。 对奇次幂的正弦，可以剥出一个因子再作换元 $u=\cos x$。但这一招对偶次幂 $2n$ 失效，因为剥不出多余的那一个正弦。标准路线改用分部积分，它每次把指数降低 $2$，从而产生一个递推关系。

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   写出递推公式。 把 $\sin^{m}x=\sin^{m-1}x\cdot\sin x$ 再作分部积分，就得到经典结果

   $\int\sin^{m}x\,dx=-\frac{\sin^{m-1}x\cos x}{m}+\frac{m-1}{m}\int\sin^{m-2}x\,dx.$

   取 $m=2n$ 并记 $I_{n}=\int\sin^{2n}x\,dx$，它就变成

   $I_{n}=-\frac{\sin^{2n-1}x\,\cos x}{2n}+\frac{2n-1}{2n}\,I_{n-1},\qquad I_{0}=\int 1\,dx=x.$

   每用一次，幂次就降 $2$，所以 $n$ 步之后一定落到 $I_{0}=x$ 上 —— 这也解释了为什么偶次幂的结果里总会留下一个孤零零的 $x$ 项。

3. 3

   用降幂恒等式得到显式闭式。 把 $\sin^{2n}x$ 按倍角余弦展开，

   $\sin^{2n}x=\frac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}+\frac{1}{2^{2n-1}}\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-k}\binom{2n}{k}\cos\bigl(2(n-k)x\bigr),$

   其中每一项都能立刻积出来。常数项 $\binom{2n}{n}/2^{2n}$ 是 $\sin^{2n}$ 在一个周期上的平均值，而它正是最后变成 $x$ 项的那一项。

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   逐项积分。 用 $\int\cos(\lambda x)\,dx=\frac{\sin(\lambda x)}{\lambda}$，其中 $\lambda=2(n-k)$：

   $\int\sin^{2n}x\,dx=\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}\,x+\frac{1}{2^{2n}}\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-k}\binom{2n}{k}\frac{\sin\bigl(2(n-k)x\bigr)}{n-k}+C.$

   分母里 $2^{2n-1}$ 之所以变成 $2^{2n}$，是因为 $\tfrac{1}{2(n-k)}$ 又多带出一个因子 $\tfrac12$。

5. 5

   写出前三种情形。 用两个公式中的任一个跑 $n=1,2,3$：

   $\int\sin^{2}x\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C,$

   $\int\sin^{4}x\,dx=\frac{3x}{8}-\frac{\sin 2x}{4}+\frac{\sin 4x}{32}+C,$

   $\int\sin^{6}x\,dx=\frac{5x}{16}-\frac{15\sin 2x}{64}+\frac{3\sin 4x}{64}-\frac{\sin 6x}{192}+C.$

   首项系数 $\tfrac12,\tfrac38,\tfrac{5}{16}$ 恰好就是 $\binom{2n}{n}/2^{2n}$，与沃利斯公式给出的规律完全一致。

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   做数值核对。 在 $[0,1.3]$ 上把闭式的结果与辛普森数值积分比对：$n=1$ 时两边都是 $0.5211246570$，$n=2$ 是 $0.3310166991$，$n=3$ 是 $0.2388166824$。三组都在十位数字上一致 ✓。